Задача оптимального управления; постановка задачи и методы ее решения.

Постановка задачи оптимального управления.

Компоненты постановки задач

Уравнение движения управляемой системы:   (i  = 1,…n),  x_i – фазовые координаты,

x_i(t₀) = x_i0 – начальное условие, f_i – непрерывная кусочно-диф-я функция

  д.б. допустимыми, т.е. принадлежать мн-ву допустимых уравнений   - ограничение.

Критерий качества процесса: 

Оптимальное управление должно переводить управляемый объект их некоторого начального состояния в определенное конечное, удовлетворяя в каждый момент заданным ограничениям и доставлять экстремум max или min функционалу цели, зависящему от управления фазовой траекторией.

Выделяют 3 типа задач по способу задания краевых условий:

1.     Задача с закрепленными концами

2.     Задача с подвижными концами

3.     Задача со свободным концом

1) Необходимо определить управляющую вектор-функцию u(t), переводящую систему  за промежуток времени tÎ[t₀,T] из области x(t₀)ÎS₀(t₀) в область х(Т)ÎS_Т(Т) при ограничении u(t)ÎV, минимизирующую функционал:

                                                                             терминальная часть

Предполагаем непрерывную дифференцируемость функций: f(x,u,t) и Ф(x,T).

Это задача с подвижными концами (возникает, если t₀ и Т заданы, а х(t₀) и х(Т) лежат на некоторой гиперповерхности пр-ва n-измерений.

2) х(t₀) = х₀, х(Т) = х₁, , в остальном аналогично задаче 1. Это задача с  закрепленными концами (предполагает начальное х(t₀) и конечное х(Т) фазовые состояния, заданными единственным образом). Если заданы t₀ и Т, то имеем задачу с фиксированным временем. В задачах с нефиксированным временем Т не задано.

3) х(t₀) = х₀, х(Т)ÎS_T, , в остальном аналогично задаче 1. Это задача с одним подвижным концом (возникает, когда х(t₀) или х(Т) не заданы).

 Основные подходы к решению задачи опт. управления.

1.     Принцип максимума Понтрягина (используется для непрерывных процессов).

2.     Динамическое программирование (для дискретных)

Но, т.к. любой непрерывный процесс можно представить в виде дискретного и наоборот, то для любой задачи актуальны оба подхода.

1. Принцип максимума Понтрягина. Пусть {u^*(t),x^*(t)} есть оптимальный процесс в системе  и качество управления оценивает функционал , тогда функция, называемая гамильтонианом системы

 H(t, x^*(t),y^*(t),u(t)) =

удовлетворяет условию  внутри области допустимых управлений для всех t, удовлетворяющих неравенству t₀ < t < t₁;

на границе области допустимых управлений гамильтониан системы как функция переменного u(t)ÎV в каждой точке t непрерывности управления u^*(t) достигает максимума при u = u^*(t), т.е. H(t, x^*(t),y^*(t),u^*(t)) = sup (max) H(t, x^*(t),y^*(t),u(t)) (uÎV), где n-мерные функции x^*(t),y^*(t) являются решением канонической системы диф. уравнений.

;    при начальном условии х(t₀) = х₀ и граничном условии

2. Динамическое программирование можно определить как набор математических процедур, используемых при анализе многошаговых процессов принятия решения. Этот метод имеет в своей основе принцип оптимальности:

1)      Опт. управление зависит только от положения системы в момент управления и от цели управления и не зависеть от предыстории системы.

2)      Выбор траектории, переводящей систему из одного положения в другое, не зависит от состояния системы в моменты, предшествующие управлению.

3)      Участок оптимальной траектории, начиная с любого момента времени и до конца процесса, сам по себе явл. оптимальной траекторией. Одним из следствий принципа оптимальности явл. невозможность получить оптимальную траекторию в целом, если в какой-то момент времени управление отклонилось от оптимального.

Рассм. дискретный процесс с фиксированным числом шагов и свободным правым концом. Задача состоит в назначении управления u(t), t = 0,1,…,N-1; u(t)ÎV; управляемый объект: , х(t₀) = х₀; функционал качества .

Решается задача при помощи приема обратного движения от конца к началу процесса. Полагаем, что нам известны значения функционала на всех предшествующих шагах Þ нужно минимизировать функционал на последнем шаге. Значение ф-ла на последнем шаге: , u(N-1)ÎV. Предпоследний шаг: , u(N-2)ÎV.

Итак, получаем рекуррентное соотношение:

,

с помощью которого решаем задачу.

Формулы перехода от непрерывной системы к дискретной:

 Þ  Þ x(t + 1) = x(t) + f(x,u)Dt

и функционал: