15. Основные свойства диаграммы Вороного. Связь с выпуклой оболочкой множества.

Неограниченной области близости диаграммы Вороного соответствует вершина выпуклой оболочки.

Доказательство (от противного): предположим, что вершина Х соответствует неограниченной области близости диаграммы Вороного и лежит внутри треугольника ABC. Построим три окружности, проходящие через Х и пару вершин треугольника ABC, и ещё одну окружность, которая охватывает эти три. Рассмотрим точку Р, лежащую вне большой окружности, и докажем, что Х не может быть для нее ближайшей.

Существует точка пересечения отрезка PX с малой окружностью (точка Q).

|XA| < |AP|

|PX| = |PQ| + |QX|

|PA| < |PQ| + |QA|

|QA| < |QX|

|PX| > |PQ| + |QX| > |PA|

Область близости точки Х ограничена большой окружностью, то есть лежит где-то внутри неё.