65. Две основные задачи динамики.

В динамике решаются две основных задачи:

1)      по заданному движению точки или системы определить силы, производящие это движение.

2)      по заданным силам, действующим на точку или систему, определить движение этих объектов.

Когда мы говорим, что задано движение точки, то предполагаем, что ее движение задано одним из кинематических способов (естественным, координатным или векторным). Когда мы определяем движение точки по заданным силам, то это значит, что мы стремимся выразить движение точки одним из кинематических способов, т.е. ищем координаты как функции времени, или закон движения точки по траектории, или закон изменения радиус-вектора точки.

Пусть на точку с массой m действует система сил . Основное уравнение динамики точки:

(*) , где - равнодействующая всех активных сил и реакций связей.

Спроектируем обе части этого векторного равенства на оси декартовых координат:

;  ;          ;  ;    , тогда

;   ;      (1)

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах.

Иногда при решении задач о движении точки пользуются диф. уравнениями в проекциях на естественные оси координат. Для получения этих уравнений спроектируем обе части уравнения (*) на касательную, главную нормаль и бинормаль:

;   ;  

 

 

Проекция ускорения на бинормаль равна 0, проекции на касательную и главную нормаль равны:

   и  , поэтому

 ;    ;     (2)

Это естественные уравнения движения материальной точки. С помощью этих уравнений многие задачи динамики точки, особенно такие, в которых известна траектория точки, решаются проще, чем при помощи уравнений (1).

Обе основные задачи динамики решаются при помощи уравнений (1) и (2).

Решение первой основной задачи динамики.

Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т.е. заданы

x = f₁(t);   y = f₂(t);    z = f₃(t)

Дифференцируя дважды по t и подставляя значения  в уравнения (1): , , .

Модуль и направляющие косинусы равнодействующей найдем по формулам:

;   ;   ;  

 

Если движение задано естественным способом: S = f(t)

,     ,     ,       ,   

Решение второй задачи динамики:

В общем случае равнодействующая  будет зависеть от времени, координат точки и ее скорости.

после интегрирования

x = f₁(t,c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆)          Чтобы выбрать из семейства одну определенную

y = f₂(t,c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆)           траекторию, следует придать параметрам c₁,…, c₆

z = f₃(t,c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, c₆)           конкретные значения.   Их  находят с помощью начальных условий.