59. Д/у с частными производными.
Основные типы этих уравнений.
Д/у в частных производных называется соотношение между
неизвестной функцией z, зависящей от
двух или нескольких переменных x, y, … этими переменными x, y, … и частными
производными от z
Уравнение с частными производными от неизвестных
функций u1, u2,…, un называется уравнением n-го порядка, если оно содержит хотя бы одну
производную n-го порядка. Порядком системы
уравнений с частными производными называется наибольший из порядков входящих в
нее уравнений.
Уравнение с частными производными называется линейным,
если оно линейно относительно всех неизвестных функций и их производных.
Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно
относительно всех старших производных от неизвестных функций. Так, например:
- квазилинейное д/у второго порядка относительно неизвестной функции u.
- линейное уравнение
второго порядка относительно u.
- не линейное, и не
квазилинейное относительно функции u.
Решением уравнения с частными производными называется
всякая система функций, которая, будучи подставлена в уравнение вместо
неизвестных функций, обращает это уравнение в тождество по независимым
переменным. Аналогично определяется решение системы.
Многие физические задачи приводят к уравнениям с
частными производными и, в частности, к следующим:
1. - уравнение
теплопроводности (параболического типа)
2. - волновое уравнение
(гиперболического типа)
3. - уравнение Лапласа
(эллиптического типа)
Все эти уравнения – линейные уравнения второго порядка
с одной неизвестной функцией.
Постановка задачи Коши:
Пусть дана следующая система уравнений с частными
производными относительно неизвестных функций u1,u2,…,un по независимым переменным t,х1,х2,…,хn:
(1)
(k0 + k1 + …+ kn
= k £ nj ; k0 < nj
; i,j = 1,2,…,N)
Для каждой из неизвестных функций ui существует свой наивысший порядок ni производных от этой функции, входящих в
рассматриваемую систему.
Число уравнений = числу неизвестных.
При некотором значении t = t0 задаются значения («начальные значения») неизвестных
функций ui и их производных по t до порядка ni-1. Пусть
при t = t0 (k =
0,1,2,…,ni-1) (2)
Все функции заданы в одной и той же области G0
пространства (x1,…,xn). Производная нулевого порядка от функции ui считаем саму функцию ui.
Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение системы
(1), удовлетворяющее при t = t0
начальным условиям (2).
(Дифференциальные уравнения в частных
производных
(УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от
нескольких переменных и их частные производные.
Общий вид таких уравнений можно представить в виде:
,
где — независимые переменные, а — функция этих переменных.)