Понятие функции, функционала, оператора.

Пусть X и Y – произвольные непустые множества.

Если каждому элементу xÎX по какому-то правилу f поставлен в соответствие элемент yÎY, то говорят, что задано отображение множества X во множество Y.

В том случае, когда множества X и Y нечисловые, отображение называется оператором, отображение нечислового множества X в числовое множество Y называется функционалом, отображение числового множества X в числовое множество Y называется функцией и обозначается y = f(x).

Множество X называется областью определения (существования) функции, а множество Y – множеством ее значений, xÎX называется независимой переменной или аргументом, yÎY – зависимой переменной – функцией.

Множество точек плоскости (x, f(x)), где xÎX, называется графиком функции y = f(x). 

Функция считается заданной, если известно правило f, по которому каждому значению аргумента xÎX можно найти соответствующее значение функции y.

Наиболее распространенным заданием функции является аналитическое.

Функция y = f(x) называется сложной, если ее аргумент x является функцией некоторого аргумента t, x = j(t). В этом случае y = f(j(t)) и говорят, что задана суперпозиция или композиция функций f и j.

Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство f(– x) = f(x). 

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого

Функция y = f(x) периодическая, если для всех x из области определения функции выполняется соотношение f(x + Т) =  f(x).

Функция y = f(x) – убывающая на промежутке, если для любого x₁< x₂ из этого промежутка f(x₁) > f(x₂).

Функция y = f(x) – возрастающая на промежутке, если x из области определения функции выполняется равенство f(– x) = – f(x).  для любого x₁< x₂ из этого промежутка f(x₁) < f(x₂).

Оператор – правило, по которому одному числовому множеству ставится в соответствие другое числовое множество.

Функция – частный случай оператора.

f(t) – множество функций – образ (оригинал)

W(p) – прообраз (изображение)

Оператор переводит образ в прообраз: f(t) ® W(p)

L[f(t)] = W(p);   L – оператор преобразования Лапласа (функцию действительной переменной переводит в функцию комплексной переменной)

Функционалом называется закон, по которому каждой функции из некоторого класса функций ставится в соответствие определенное число.

Область определения функционала, т.е. совокупность функций, для которых он рассматривается является функциональным пространством. Функциональные пространства являются чаще всего бесконечномерными нормированными.