Понятие множества

57. Понятие множества, операции с множествами, мощность множества;

Понятие множества

Множество является простейшим неопределяемым понятием. Под множеством понимается совокупность, собрание, и т.п. каких-либо объектов, собранных, объединенных в единое целое по какому-либо правилу или закону. Правило или закон, по которому объединяются объекты во множество, называется характеристическим свойством множества, а объекты в него входящие – элементами множества.

Множество считается заданным, если известно его характеристическое свойство или перечислены все его элементы.

Способы задания множеств:

1) Перечислением элементов

{3; -1; ; p}; N = {1, 2,…}

2) Указанием характеристического свойства

{x = M / F(x)}; {xÎR / 0 < x < 1}

N – множество натуральных чисел { xÎN / $ yÎN : x = 2y}

3) Индуктивный способ

2ÎА

если хÎА, то 2хÎА

Множество называется конечным, если количество его элементов можно выразить некоторым числом, причем неважно известно это число или нет.

Множество не являющееся конечным называется бесконечным: множество натуральных чисел N = {1, 2, …, n}, множество точек плоскости.

Множество, не содержащее элементов, является пустым.

В том случае, когда множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то такие множества называются равными.

Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, то А является подмножеством В.

Обычно все множества, с которыми имеют дело в той или иной науке, являются подмножествами некоторого множества I, называемого универсальным.

Операции над множествами

1. Объединением множеств А и В называется множество АÚВ, состоящее из всех элементов, содержащихся хотя бы в одном из множеств А или В, т.е.

АÚВ = {x: xÎA или xÎB}

Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

1) АÚВ = ВÚА – коммутативность

2) (АÚВ)ÚС = АÚ(ВÚС) – ассоциативность

3) АÚА = А

4) Если АÌВ, то АÚВ = В

2. Пересечением множеств А и В называется множество АÙВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, так и множеству В, т.е.

АÙВ = {x: xÎA и xÎB}

Если пересечение множеств А и В есть пустое множество, то множества А и В называются непересекающимися, в противном случае пересекающимися.

Свойства операции пересечения:

1) АÙВ = ВÙА – коммутативность

2) (АÙВ) ÙС = АÙ (ВÙС) – ассоциативность

3) (АÚВ) ÙС = (АÙC) Ú (ВÙС) – дистрибутивность

4) АÙА = А

5) Если АÌВ, то АÙВ = А

3. Разностью множеств А и В называется множество А\В, состоящее из всех элементов множества А, не входящих в множество В, т.е.

А\В = {x: xÎA , xB}

Разность А\В часто называют дополнением, а символом обозначают дополнение множества А до универсального,

Упорядоченная пара - пара, относительно которой указано какой элемент первый, какой второй.

4. Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит А, вторая принадлежит В.

Множество х называется ограниченным снизу (сверху), если существует такая точка а, называемая нижней границей множества (такая точка в, называемая верхней границей множества), что для всех х из этого множества а £ х (х £ в).

Множество, ограниченное снизу и сверху называется ограниченным.

Любой интервал, содержащий точку х прямой, называется окрестностью этой точки.

Точка m(М) называется нижней (верхней) гранью множества А, если левее (правее) ее нет элементов множества А, а в любой окрестности точки m(М) есть элементы множества А.

Всякое непустое множество, ограниченное снизу (сверху), имеет нижнюю (верхнюю) грань.

Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция.

(Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,

$\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\;(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)$ .

Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,

$\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y$ . )

Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Пример

Множество чётных целых чисел $\mathbb{E}$ имеет такую же мощность, что и множество целых чисел $\mathbb{Z}$ . Определим так: $f(x)=\frac{x}{2}$ . $f$ — биекция, поэтому $|\mathbb{E}|=|\mathbb{Z}|$

Свойства

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например $|{\mathbb N}|=|\mathbb Z|$ .

Вопрос 57.

Понятие множества. Операции с множествами. Мощность множества.

Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,} . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a О A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a П A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ж.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Определение 1 (определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x О A следует x О B и обратно, из x О B следует x О A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В):= " x((x О A) Ы (x О B)),

это означает, что для любого объекта x соотношения xО A и xО B равносильны.

Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждого x").

Определение 2 (определение подмножества). Множество А является подмножеством множества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

(A М B) := " x ((xО A) Ю (x О B))

Если AМ B, но A№ B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.

Объединение.

C=A И B: = {x:x О A или x О B}

Пример. A = {1; 3; 5; 7; ...; 2n-1; ....} — нечетные числа

B = {2; 4; 6; 8; ....; 2n; ...} — четные числа

A И B = {1; 2; 3; ...; n; ......} — натуральный ряд

Пересечение.

C=A З B:= {x: x О A и x О B }

Пример. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}. Тогда C=AЗ B={6,12,...,6n,...}.

Вычитание.

A \ B: = {x:x О A и x П B}

Дополнение.

Пусть U — универсальное множество (все остальные множества принадлежат U)

A = CA: = {x:x О U и x П A} = U \ A

Симметрическая разность.

A D B:= (A \ B) И (B \ A) = (A И B) \ (A З B)

Свойства операций над множествами.

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:

Коммутативность.

A И B=B И A

A З B=B З A

Ассоциативность.

(A И B) И C=A И (B И C)

(A З B) З C= A З (B З C)

Дистрибутивность.

(A И B) З C = (A З C) И (B З C)

(A З B) И C= (A И C) З (B И C)

A И A=A, A З A=A

A И Ж = A, A З Ж= Ж

Законы де Моргана (законы двойственности).

1) A И B= A З B

2) A З B= A И B

Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.

Пример 5. A = {1; 2; 3; 4}

B = {3; 4; 5; 6}

A \ B= {1; 2}

(A \ B) И B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} № A

Но (A \ B) И B= A Ы B М A

Мощность множеств.

Как мы можем сравнить два конечных множества? Мы можем, например, сосчитать количество элементов в каждом из них и таким образом сравнить. Но можно поступить иначе, попытаться установить биекцию между элементами. Ясно, что биекцию между двумя конечными множествами можно установить только при условии, что количество элементов в них одинаково. Именно второй способ годится для сравнения бесконечных множеств. Среди бесконечных множеств – простейшим является множество натуральных чисел.

Определение 10 (эквивалентные множества). Два множества

эквивалентны, если между их элементами можно установить биективное отображение. Это обозначается следующим образом

A ~ B.

Пример 10.

[a,b] ~ [0,1],

что легко проверить, установив биекцию по формуле y = a+(b-a)x, где xО [0,1].

Определение 11 (определение счетного множества). Счетное

множество — это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Рассмотрим примеры счетных множеств.

Пример 11.

Множество всех целых чисел

Z = { 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,...,}.

Соответствие между целыми и натуральными числами можно осуществить по схеме

n « 2n+1 при nі 0, n « 2|n| при n<0.

Множество всех четных положительных чисел. Соответствие по формуле n « 2n.

Множество чисел 2n. Соответствие осуществляется по формуле n « 2n.

Приведем некоторые свойства счетных множеств.

Теорема 1 (свойства счетных множеств).

Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множества.

Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Существуют и несчетные множества. Справедлива

Теорема 2 (теорема Кантора). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Приведем примеры несчетных множеств.

Пример 12.

Множество точек любого отрезка [a,b] или интервала (a,b).

Множество точек на прямой.

Множество точек плоскости, пространства.

Множество иррациональных чисел.

Определение (определение мощности множества).

Класс эквивалентных множеств называется мощностью.

Если множества эквивалентны, то их мощности равны, то есть

A ~ B Ю cardA = cardB,

где card A — мощность множества A. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества. Мощность натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается А0 (читается: "алеф нуль").

Про множества, эквивалентные множеству действительных чисел отрезка [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается c или А.