56. Задачи вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Разновидности вариационных задач.

 

Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью).

 

Хотя задачи, к которым применимо вариационное исчисление, заметно шире, в приложениях они главным образом сводятся к двум основным задачам:

нахождение точек в пространстве функций, на котором определён функционал — точек стационарного функционала, стационарных функций, линий, траекторий, поверхностей и т. п., то есть нахождение для заданного Φ[f] таких f, для которых δΦ = 0 при любом (бесконечно малом) δf, или, иначе, где ,

нахождение локальных экстремумов функционала, то есть в первую очередь определение тех f, на которых Φ[f] принимает локально экстремальные значения — нахождение экстремалей (иногда также определение знака экстремума).

 

Очевидно, обе задачи тесно связаны, и решение второй сводится (при должной гладкости функционала) к решению первой, а затем проверке, действительно ли достигается локальный экстремум (что делается независимо вручную, или — более систематически — исследованием вариационных производных второго и, если все они одного знака и хотя бы одна из них равна нулю, то производных более высокого порядка). В описанном процессе выясняется и тип экстремума. Нередко (например, когда функция стационарного функционала единственная, а все изменения функционала при любом большом возмущении имеют один и тот же знак) решение вопроса, экстремум ли это и какого он типа, заранее очевидно.

 

Пусть задан функционал

 

с подинтегральной функцией , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

 

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.