55. Элементы вариационного исчисления. Примеры функционалов. Экстремум функционала. Уравнение Эйлера. Экстремали.

 

Функционалом называется закон, по которому каждой функции из некоторого класса функций ставится в соответствие определенное число, обычно вещественное (величина интеграла, min and max на отрезке).

Область определения функционала, т.е. совокупность функций, для которых он рассматривается является функциональным пространством. Функциональные пространства являются чаще всего бесконечномерными нормированными.

Основная задача вариационного исчисления.

 В вариационном исчислении изучаются алгоритмические методы отыскания экстремумов, методы получения необходимых и достаточных условий, гарантирующих существование экстремума. Задача вариационного исчисления – найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию z(x), x₀ < x < x₁, удовлетворяющую граничным условиям: z(x₀) = z₀   z(x₁) = z₁ и доставляющую min (max) функционала.

 

  ®  min

  ®  max

F – дважды дифференцируемая по всем аргументам функция.

Слабый, строгий, абсолютный экстремумы.

     х

                                           x*(t) – экстремаль

                                                e – окрестность

 

                                              x(t)

 

                                                     t

   Пусть  e – окрестностью кривой x*(t) являются всевозможные кривые x(t), которые в промежутке [t₀,t₁] удовлетворяют неравенству:

Функция x*(·) доставляет слабый экстремум min (max) в задаче

 ,  где x(t₀) = x₀,  x(t₁) = x₁, причем x₀, x₁ÎRⁿ (n-мерное пространство)

если существует окрестность    и выполняется условие:

  - условие min

 - условие max

причем, если равенство имеет место при x(·) = x*(·), то на кривой x*(·) достигается строгий экстремум.

Экстремум функционала  на всей совокупности функций, на которой он определен называется абсолютным экстремумом.

Вариация функционала

      (*)

Разложим функцию (*) в ряд Тейлора

 - остаточный член (пренебрегаем)

 - первая вариация есть главная часть приращения функционала.

Интегрируем по частям вторую часть:

                                                               0     (вариация на концах интервала = 0)

     - Уравнение Эйлера

 

- функция трех переменных

любое решение этого уравнения наз. экстремалью исходного функционала. Экстремаль наз. допустимой, если x(t₀) = x₀,  x(t₁) = x₁

         Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Таким образом, экстремаль -  это так кривая, на которой может достигаться экстремум функционала. Так как уравнение Эйлера дополняется не начальными, а граничными условиями, то теорема Коши о существовании и единственности решения ДУ здесь не применима. Другими словами, экстремаль не обязательно существует,  а если существует, то не обязательно единственна. Все зависит от вида уравнения Эйлера и разрешимости системы уравнений для граничных условий.