53. Элементы теории вероятностей. Случайные события, случайные величины, Функция распределения. Биномиальный  и нормальный законы распределения.

 

Многие явления в природе, технике и в других областях носят случайный характер, т.е. невозможно точно предсказать, как явление будет происходить. Теория вероятностей дает математическую модель для описания случайных явлений в объективной действительности.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будут осуществлены определенные условия.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.

Случайным называется событие, которое может произойти либо не произойдет.

События называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании.

Для оценки случайных величин вводится понятие вероятности.

Испытания в каком-то опыте называются элементарными исходами или элементарными событиями.

События обозначаются большими латинскими буквами, а вероятность буквой Р.

Р(А) – вероятность события А.

Равновозможными называются события, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Р(А) называется отношение числа благоприятствующих этому события исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.

m – благоприятствующие исходы.

n – общее число исходов.

Свойства:

1.      вероятность достоверного события равна 1.

2.      вероятность невозможного события равна 0.

3.      Вероятность случайного события – положительное число между 0 и 1.

Суммой А + В события А и В называют событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо события и А, и В.

Вероятность суммы несовместимых событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Условной вероятностью Р_А(В) называется вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже наступило:

Дискретной называется случайная величина, если она может принимать только конечное или счетное множество значений. 

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Пусть Х – некоторая случайная величина. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется функция

F(x) = P(X < x).

Значение функции распределения в точке x₀, таким образом, равно вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее x₀. В теории вероятностей случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения, т.е. может рассматриваться как заданная, если задана ее функция распределения.

Функция распределения произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:

1.      

2. F(x) является монотонно неубывающей, т.е. при x₁ < x₂ имеет место F(x₁) £ F(x₂)

3. F(x) непрерывна слева.

Биномиальное распределение.

Пусть некоторый опыт повторяется n раз, и отдельные опыты этой серии не зависят друг от друга. Пусть в каждом опыте может произойти или не произойти событие А, а вероятность его осуществления в отдельном опыте не зависит от номера опыта и равна p. Пусть X⁽ⁿ⁾ – число наступлений события А в такой серии из n опытов. Очевидно, что возможные значения случайной величины X⁽ⁿ⁾ – числа 0, 1, 2,…, n. Вероятности Р(n,k) = Р(X⁽ⁿ⁾ = k) вычисляются по биномиальному закону

              q = 1 – p        (k = 0, 1,…,n)

p – вероятность появления события А, q – вероятность не появления события А.

Нормальное распределение.

Случайная величина называется распределенной нормально, если она имеет плотность вероятности следующего вида:

а, s - параметры распределения.

Функция представляет собой колоколообразную кривую. Параметр а – точка максимума и одновременно центр симметрии, параметр s - расстояние от этого центра до точки перегиба. Если s мало, то кривая высокая и заостренная, если s велико, то она широкая и плоская. На рис. 1 нормальное распределение при а = 0.

 

 

 

Математическим ожиданием случайной величины Х наз. число:

  - для ДСВ

 - для НСВ

Дисперсией случайной величины Х называется число   равное произведению М.О. на квадрат отклонения случайной величины от ее М.О.

Многомерные случайные величины.

Совокупность (Х₁, Х₂,…, Х_n) случайных величин называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

Такой случайный вектор может быть охарактеризован своей n-мерной функцией распределения:

F(x₁, x₂,…, x_n) = P(Х₁< x₁,…, Х_n< x_n).

Свойства n-мерной функции распределения:

1.         (j = 1,…,n)

2. F(x₁, x₂,…, x_n) является монотонно неубывающей по каждому переменному

3. F(x₁, x₂,…, x_n) непрерывна слева по каждому переменному.