52. Ряды, сходимость, абсолютная сходимость, функциональные ряды. Представление функции рядами.

 

Пусть U₁, U₂,…, U_n,… - бесконечная последовательность чисел.

Выражение  (*)  называется рядом, а элементы последовательности U₁, U₂,…, U_n,… - членами ряда.

Если "n U_n – число, ряд называется числовым. В противном случае – ряд функциональный.

1.      1 +1 +1 + …                              числовые

2.                   ряды

3.                функциональные

4.                                               ряды

Сумма конечного числа (n членов ряда (*)), называется n-частичной суммой ряда.

S₁ = U₁

S₂ = U₁ + U₂

S_n = U₁ + U₂ + …+ U_n

Если последовательность частичных сумм имеет предел, т.е.   ряд (*) называется сходящимся, а число S – сумма ряда.

Если последовательность частичных сумм не имеет (конечного) предела, то бесконечный ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремиться к нулю:

если ряд   сходится, то  , в противном случае ряд расходится.

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, состоящий из модулей его членов, т.е.  сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд  сходится, а ряд, состоящий из модулей его членов , расходится.

Если ряд  сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле, т.е. из сходимости ряда  следует сходимость ряда .

Последовательность U₁(х), U₂(х),…, U_n(х),… =   (1)

называется функциональным рядом относительно переменной x.

При фиксированном x = x₀, ряд (1) становится числовым.

Если этот ряд сходится, следовательно, существует сумма ряда f(x₀).

Если (1) сходится для любого xÎ{x}, то существует сумма ряда f(x).

f_n(x) – n-частичная сумма ряда (1): 

Пусть хÎ{x} – область сходимости (1), тогда "e > 0, $N_e: n > N_e, отсюда

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся к своей сумме f(x), для х из области сходимости, если "e > 0 найдется номер N, зависящий от e единый для всех х такой, что n > N_e, отсюда:

  , "х из области сходимости.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов.

Рассмотрим 2 ряда:

(1)             - функциональный ряд

(2)              - числовой ряд

Если "k, , "хÎ{x}, то ряд (2) называется мажорантным для (1) или мажорирующим.

 Если ряд (2) – сходится ((2) является мажорантным для (1) на {x}), тогда (1) сходится равномерно на {x}.

Функциональный ряд вида

(*)   а₀ + а₁х + а₂х² + … + а_nхⁿ + … называется степенным.

Ряд   а₀ + а₁(х – а) + а₂(х – а) ² + … + а_n(х – а) ⁿ + …

приводится к (*) заменой X = a – x

Область сходимости степенного ряда (-R,R) называется интервалом сходимости. R – радиус сходимости. Степенной ряд расходится вне интервала сходимости.

Разложение функции в степенные ряды, постановка задачи

Дано: f(x)

Найти: Степенной ряд, сумма которого равна f(x) для xÎ(-R,R)

Решение:  можно использовать формулу Тейлора

      

Если  , то f(x) – сумма ряда Тейлора.