51

51. Д/у с частными производными. Основные типы этих уравнений.

Д/у в частных производных называется соотношение между неизвестной функцией z, зависящей от двух или нескольких переменных x, y, … этими переменными x, y, … и частными производными от z

Уравнение с частными производными от неизвестных функций u₁, u₂,…, u_n называется уравнением n-го порядка, если оно содержит хотя бы одну производную n-го порядка. Порядком системы уравнений с частными производными называется наибольший из порядков входящих в нее уравнений.

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно всех неизвестных функций и их производных. Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестных функций. Так, например:

- квазилинейное д/у второго порядка относительно неизвестной функции u.

- линейное уравнение второго порядка относительно u.

- не линейное, и не квазилинейное относительно функции u.

Решением уравнения с частными производными называется всякая система функций, которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестных функций, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным. Аналогично определяется решение системы.

Многие физические задачи приводят к уравнениям с частными производными и, в частности, к следующим:

1. - уравнение теплопроводности (параболического типа)

2. - волновое уравнение (гиперболического типа)

3. - уравнение Лапласа (эллиптического типа)

Все эти уравнения – линейные уравнения второго порядка с одной неизвестной функцией.

Постановка задачи Коши:

Пусть дана следующая система уравнений с частными производными относительно неизвестных функций u₁,u₂,…,u_n по независимым переменным t,х₁,х₂,…,х_n:

(1)

(k₀ + k₁ + …+ k_n = k £ n_j ; k₀ < n_j ; i,j = 1,2,…,N)

Для каждой из неизвестных функций u_i существует свой наивысший порядок n_i производных от этой функции, входящих в рассматриваемую систему.

Число уравнений = числу неизвестных.

При некотором значении t = t₀ задаются значения («начальные значения») неизвестных функций u_i и их производных по t до порядка n_i_-1. Пусть при t = t₀ (k = 0,1,2,…,n_i_-1) (2)

Все функции заданы в одной и той же области G₀ пространства (x₁,…,x_n). Производная нулевого порядка от функции u_i считаем саму функцию u_i.

Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение системы (1), удовлетворяющее при t = t₀ начальным условиям (2).

(Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

$F = \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)$ ,

где $x_1, x_2,\dots, x_m$ — независимые переменные, а $z\!$ — функция этих переменных.)