50.
Обыкновенные д/у, частное и общее решение задачи
Коши.
Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее неизвестную функцию
одного или нескольких переменных, независимые переменные и производные неизвестной
функции по независимым переменным.
Решить д/у – это значит
найти все известные функции, обращающие уравнения в тождество.
Обыкновенные
(ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента,
и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции
зависят от многих переменных.
Если функция зависит от одной переменной, то уравнение
называется обыкновенным. Произвольное
обыкновенное д/у порядка r имеет вид:
(1)
где r – порядок
наивысшей производной, входящей в уравнение. Под д/у
в явной форме понимают д/у, разрешенное относительно старшей производной:
Уравнение вида (1) называют д/у
в неявной форме. Под интегрированием уравнения (1) понимают
нахождение функции y(x), которая в интервале [a, b] (или на бесконечном
интервале) удовлетворяет этому уравнению. При этом функция y(x) называется решением д/у. Общее решение обыкновенного д/у порядка r имеет вид:
,
где С1,…,Сr – произвольные постоянные. При любом наборе
конкретных постоянных получаются частные
решения.
Если дифференциальное уравнение первого порядка y'=f(x, y),
имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти
решения могут быть записаны в виде y=y(x,C),
где C —
произвольная константа.
Выражение y(x,C)
называют общим решением
дифференциального уравнения 1-го порядка:
при всех допустимых значениях C
функция y=y(x,C)
является решением уравнения,
y'(x,C)=f(x, y(x, C));
для любого наперед заданного решения y=f(x) найдется такое
значение константы C, C=С*,
что y(x,C*)=f(x).
Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0,
то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение.
Задача об отыскании решения y=y(x)
дифференциального уравнения y'=f(x, y),
удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0,
называется задачей Коши.
Решение задачи Коши называют частным решением.
Задача Коши (задача с начальными условиями) есть
задача о нахождении частного решения, которое удовлетворяет r начальным условиям
, 
Если
известно общее решение, то для решения задачи Коши постоянные Сi находят из
уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Краевая задача есть задача о нахождении частного
решения, которое удовлетворяет r краевым
условиям на концах интервала a £ x
£ b, т.е.
при x = a и x = b. Д/у может
обладать также особыми решениями, т.е. решениями, которые нельзя получить из
общего решения путем подстановки конкретных значений для постоянных Сi.
Графическое изображение частного решения называют
интегральной кривой. Общее решение д/у r-го порядка определяет r-параметрическое семейство интегральных кривых.
Т.о. д/у описывает семейство
кривых.
(уравнение наз. линейным неоднородным ДУ, если в
правой части есть функция не =0.Общее решение тогда равно сумме решения ЛОДУ и
какое либо из частных решений ДУ;
ЛДУ это уравнение, линейное относительно искомой
функции y и ее производных y’, y’’, y’’’ ….).
