49. Интеграл определенный и неопределенный

 

Определенный интеграл.

Пусть функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a, b], a<b. Произведем разбиение Z отрезка [a, b] на «элементарные интервалы» введением точек x_i (i = 0,1,…n): a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < x_n = b.

Обозначим через D(Z) длину наибольшего элементарного интервала разбиения Z, т.е. . В каждом элементарном интервале выберем произвольное число x_i (x_i-1£ x_i£ x_i).

Число  называется интегральной суммой относительно разбиения Z.

По-разному деля отрезок [a, b] на n-частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке x_i, можно для всякого заданного отрезка [a, b] составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что последовательность s(Z_n) соответствующих интегральных сумм, независимо от выбора внутренних точек x_i при неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков (), всегда сходится (она сходится в таком случае к одному и тому же предельному значению, а это и есть интеграл). Определенный интеграл от f(x) в пределах от а до b и обозначается:

Неопределенные интегралы

Первообразная функция: Функция F(x), дифференцируемая в некотором интервале, называется первообразной функцией для функции f(x) в этом интервале, если для каждого x - .

Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные функции для f(x) на одном и том же отрезке, то они различаются самое большее на постоянное: F₂(x) = F₁(x) + C, т.е. графики всех первообразных функций образуются из одного из них смещением по оси y на произвольное постоянное.

Неопределенным интегралом функции f(x) на некотором интервале называют множество всех первообразных функций функции f(x) на этом интервале и обозначают символом

Если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то

 

 

Определенный интеграл

 

Интеграл Римана Определения

 

Пусть функция f(x) определена на [a,b]. Разбиением отрезка [a,b] называется набор точек D={a=x0< x1<…< xn=b}. Обозначим через x набор промежуточных точек для D, x={xk}, xkÎ[xk,xk+1], k=0,1,…,n -1. Интегральной суммой для набора f, D, x называется выражение

 

 

Геометрический смысл интеграла:

 

 Интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, построенных на отрезках разбиения [xk,xk+1] с высотой f(xk). При достаточно мелком разбиении D эту суммарную площадь естественно считать приближенно равной площади фигуры, ограниченной графиком функции ( здесь мы считаем, что f(x)>0) осью абсцисс и прямыми x=a, x=b. Такое наблюдение приводит к мысли использовать определенный интеграл для формального определения площадей подобных областей.