48.
Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
Производной функции y = f(x) в точке Х называется предел,
если он существует, отношения приращения функции к приращению аргумента при
стремлении последнего к нулю.
Производная функции в точке
интерпретируется:
1.
механически
– как мгновенная скорость изменения функции в этой точке
2.
геометрически
– как угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.
Механический смысл:
Зная закон S = f(t) движения точки, найти V ее движения в любой момент времени.
Зафиксируем момент времени t
и t
+ Dt;
За время t точка пройдет S(t), за t + Dt = s(t + Dt) – f(x)
За время Dt ® DS = f(t + Dt) – f(t)
Отношение 
- характеризует
среднюю скорость Vср.
за Dt
Если в этом отношении перейти к
пределу при Dt ®
0, то получим истинную (мгновенную) скорость движения точки в момент t:
Геометрический смысл:
геометрически
производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой
функции.
Уравнение искомой касательной
запишем в виде уравнения прямой, проходящей через т.М(Х0, У0),
т.е.
У-У0
= к(Х-Х0), где неизвестен только коэф. –
к, равный тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси
ОХ. Т.о. задача свелась к нахождению к = tga
Пусть кривая L задана функцией y = f(x), МТ – касательная к кривой в
т.М(Х0, У0). На кривой L возьмем производную т.W(Х0+DХ,
У0+DУ) и проведем секущую MW. Из тр-ка
МКW
определим угловой коэф-т секущей MW: 
Если
W
® М, то b ® a и tgb ® tga,
Þ 
, а т.к. при W
® М Dх ® 0, то 
Согласно
определению, для отыскания производной функции y = f(x) в т.Х необходимо проделать 4
операции:
1.
придать
Х приращение DХ, т.е. перейти к точке Х+DХ
2.
вычислить
приращение функции DУ = f(Х+DХ)-f(X)
3.
составить
соотношение DУ/DХ
4.
вычислить
